ปี พ.ศ. 2539 ลงสมัครสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรในสังกัดพรรคความหวังใหม่ และได้รับการเลือกตั้งเป็นครั้งแรก พ.ศ. 2544 ย้ายมาสังกัดพรรคไทยรักไทย ได้รับการเลือกตั้งเป็นครั้งที่สองและสาม

พ.ศ. 2550 ลงสมัครในนามพรรคพลังประชาชน และพ.ศ. 2554 ในนามพรรคเพื่อไทย ชนะการเลือกตั้งทุกครั้ง

อนึ่ง นายอำนวยเคยเป็นเลขานุการรัฐมนตรีช่วยว่าการกระทรวงการคลัง (นายมารวย ผดุงสิทธิ์), เลขานุการรัฐมนตรีช่วยว่าการกระทรวงมหาดไทย (นายประมวล รุจนเสรี) และเลขานุการรัฐมนตรีช่วยว่าการกระทรวงมหาดไทย (นายสมชาย สุนทรวัฒน์)

ในเดือนสิงหาคม พ.ศ. 2562 อำนวย คลังผา ได้รับแต่งตั้งให้ดำรงตำแหน่งกรรมการผู้ช่วยรัฐมนตรีประจำสำนักนายกรัฐมนตรี[2]

สมาชิกสภาผู้แทนราษฎร

อำนวย คลังผา ได้รับการเลือกตั้งเป็นสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรมาแล้ว 5 สมัย คือ

1. การเลือกตั้งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรไทยเป็นการทั่วไป พ.ศ. 2539 จังหวัดลพบุรี สังกัดพรรคความหวังใหม่
2. การเลือกตั้งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรไทยเป็นการทั่วไป พ.ศ. 2544 จังหวัดลพบุรี สังกัดพรรคไทยรักไทย
3. การเลือกตั้งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรไทยเป็นการทั่วไป พ.ศ. 2548 จังหวัดลพบุรี สังกัดพรรคไทยรักไทย
4. การเลือกตั้งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรไทยเป็นการทั่วไป พ.ศ. 2550 จังหวัดลพบุรี สังกัดพรรคพลังประชาชน
5. การเลือกตั้งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรไทยเป็นการทั่วไป พ.ศ. 2554 จังหวัดลพบุรี สังกัดพรรคเพื่อไทย